二维热传导的数学物理原理

二维热传导公式

二维热传导方程为

\[ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right) \]

其中：

• \(T(x,y,t)\) ：位置 \((x,y)\) 在时刻 \(t\) 的温度；
• \(\alpha\) ：热扩散率；
• \(\partial T\) / \(\partial t\) ：温度随时间的变化率；
• 右边两项：温度在 \(x\)、\(y\) 方向的扩散。

有限差分法

二维拉普拉斯算子的差分：

\[ \nabla^2T = \frac{\partial^2T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2T}{\partial y^2}. \]

在 \((i,j)\) 处：

\[ \boxed{ \nabla^2T_{i,j} \approx \frac{ T_{i+1,j}-2T_{i,j}+T_{i-1,j} }{(\Delta x)^2} + \frac{ T_{i,j+1}-2T_{i,j}+T_{i,j-1} }{(\Delta y)^2} } \]

时间导数的离散：

对于随时间变化的函数 \(T(x,t)\) ，设置时间网格：

\[ t^n=n\Delta t \]

记：

\[ T_i^n=T(x_i,t^n) \]

这里：

• 下标 \(i\) 表示空间位置；
• 上标 \(n\) 表示时间层。

时间一阶导数可以采用向前差分：

\[ \boxed{ \frac{\partial T}{\partial t} \approx \frac{T_i^{n+1}-T_i^n}{\Delta t} } \]

时间采用向前差分，空间采用中心差分：

\[ \frac{T_{i,j}^{n+1}-T_{i,j}^n}{\Delta t} = \alpha \left[ \frac{ T_{i+1,j}^n-2T_{i,j}^n+T_{i-1,j}^n }{(\Delta x)^2} + \frac{ T_{i,j+1}^n-2T_{i,j}^n+T_{i,j-1}^n }{(\Delta y)^2} \right] \]

整理：

\[ \boxed{ T_{i,j}^{n+1} = T_{i,j}^n + r_x \left( T_{i+1,j}^n-2T_{i,j}^n+T_{i-1,j}^n \right) + r_y \left( T_{i,j+1}^n-2T_{i,j}^n+T_{i,j-1}^n \right) } \]

其中：

\[ r_x=\frac{\alpha\Delta t}{(\Delta x)^2}, \qquad r_y=\frac{\alpha\Delta t}{(\Delta y)^2} \]