二维热传导的数学物理原理

二维热传导公式

二维热传导方程为

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right)$$

其中：

• $T(x,y,t)$ ：位置 $(x,y)$ 在时刻 $t$ 的温度；
• $\alpha$ ：热扩散率；
• $\partial T$ / $\partial t$ ：温度随时间的变化率；
• 右边两项：温度在 $x$、$y$ 方向的扩散。

有限差分法

二维拉普拉斯算子的差分：

$$\nabla^2T = \frac{\partial^2T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2T}{\partial y^2}.$$

在 $(i,j)$ 处：

$$\boxed{ \nabla^2T_{i,j} \approx \frac{ T_{i+1,j}-2T_{i,j}+T_{i-1,j} }{(\Delta x)^2} + \frac{ T_{i,j+1}-2T_{i,j}+T_{i,j-1} }{(\Delta y)^2} }$$

时间导数的离散：

对于随时间变化的函数 $T(x,t)$ ，设置时间网格：

$$t^n=n\Delta t$$

记：

$$T_i^n=T(x_i,t^n)$$

这里：

• 下标 $i$ 表示空间位置；
• 上标 $n$ 表示时间层。

时间一阶导数可以采用向前差分：

$$\boxed{ \frac{\partial T}{\partial t} \approx \frac{T_i^{n+1}-T_i^n}{\Delta t} }$$

时间采用向前差分，空间采用中心差分：

$$\frac{T_{i,j}^{n+1}-T_{i,j}^n}{\Delta t} = \alpha \left[ \frac{ T_{i+1,j}^n-2T_{i,j}^n+T_{i-1,j}^n }{(\Delta x)^2} + \frac{ T_{i,j+1}^n-2T_{i,j}^n+T_{i,j-1}^n }{(\Delta y)^2} \right]$$

整理：

$$\boxed{ T_{i,j}^{n+1} = T_{i,j}^n + r_x \left( T_{i+1,j}^n-2T_{i,j}^n+T_{i-1,j}^n \right) + r_y \left( T_{i,j+1}^n-2T_{i,j}^n+T_{i,j-1}^n \right) }$$

其中：

$$r_x=\frac{\alpha\Delta t}{(\Delta x)^2}, \qquad r_y=\frac{\alpha\Delta t}{(\Delta y)^2}$$