二维泊松方程问题说明

考虑二维矩形区域

$$\Omega=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le1\}.$$

区域内的稳态温度场满足

$$-\nabla^2T=q(x,y),$$

即

$$-\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2} +\frac{\partial^2T}{\partial y^2}\right)=q(x,y).$$

内部采用高斯源项

$$q(x,y)=1000\exp\left( -\frac{(x-0.5)^2+(y-0.5)^2}{2(0.1)^2} \right).$$

四条边界采用齐次 Dirichlet 条件：

$$T(0,y)=T(1,y)=T(x,0)=T(x,1)=0.$$

数值任务

1. 在两个方向建立均匀网格，并使用二维五点有限差分格式离散方程。
2. 使用 Jacobi、Gauss–Seidel、SOR 和稀疏矩阵直接法求解。
3. 使用残差判断迭代是否收敛，目标为 $\|r\|_\infty<10^{-8}$。
4. 比较不同方法的迭代次数、计算时间、最终残差和数值解差异。
5. 绘制源项、温度场、等值线、中心线温度和残差收敛曲线。
6. 比较 $51\times51$、$101\times101$ 和 $201\times201$ 网格。
7. 比较 SOR 松弛因子 $1.0,1.2,1.5,1.8,1.9$。
8. 使用解析解
   $T_{\mathrm{exact}}=\sin(\pi x)\sin(\pi y)$
   构造源项并验证空间二阶收敛性。